벚꽃속에 ‘별’ 살포시 내려앉다

지난 주엔 동네 주변에 온통 벚꽃이 피어 연분홍 세상이었다. 벚꽃 덕분인지 벚꽃 구경을 나온 사람들의 표정이 모두 밝아 보였다. 벚꽃의 모양에 대한 호기심에 벚나무 가까이 가서 바라보니 벚꽃 속에 놀랍게도 별 모양이 보였다. 다섯 개의 꽃잎이 아름다운 별을 만들어내고 있었다(그림 1). 그래서 벚꽃 나무 아래서 위를 쳐다보면 세상이 온통 연분홍 별로 뒤덮인 것 같은 착각에 빠진다. 벚꽃 속의 아름다운 별을 수학적으로 따져 보자.

관찰하고 추측하기

1. 같은 크기의 동전 다섯 개를 벚꽃의 꽃잎처럼 서로 이어 붙여 보라. 다섯 개의 동전 가운데 별 모양이 만들어진다. 만약 동전들의 중심을 잇는다면 어떤 도형이 만들어질까? 컴퍼스로 같은 크기의 원 다섯 개를 서로 접하도록 그려 보자. 이웃한 원의 중심들을 선분으로 연결하면 오각형이 만들어진다. 이 때 다섯 개의 원이 하나의 큰 원에 접하거나 오각형의 꼭지점이 모두 한 원의 둘레 위에 있게 되면 이 오각형은 정오각형이 된다(그림 2).

2. 정오각형ABCDE를 그리고 그 안에 다섯 개의 대각선을 그려 보라. 정오각형 안에 별 모양과 작은 정오각형이 만들어진다. 다시 작은 정오각형 안에 다섯 개의 대각선을 그으면 더 작은 별 모양과 더 작은 정오각형이 만들어진다. 이 과정을 계속하면 더 작은 별과 작은 오각형이 만들어진다(그림 3). 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이 사이엔 어떤 관계가 있는 걸까? 두 대각선 EC와 DA의 교점을 F라 하면, 두 삼각형 EFD와 AED는 이등변삼각형이고 서로 닮은꼴이다. 정오각형의 한 변의 길이를 1, 대각선의 길이를 x라 하면 선분 AE, ED, AF의 길이는 모두 1이고 선분 EF, FD는 모두 x-1이다. 두 삼각형 EFD와 AED가 서로 닮은꼴이므로 비례관계에 의해 1:x=(x-1):1이 성립한다. 여기서 x값을 구하여 소수점 아래 셋째 자리까지 나타내면 약 1.618이다. 즉, 정오각형의 한 변의 길이와 그 대각선의 길이의 비는 약 1:1.618인 셈이다. 이 비는 동서고금을 막론하고 건축이나 예술에서 사용될 만큼 너무도 아름답고 소중한 것이어서 보통 ‘황금비’로 불린다.

이제 정오각형으로 꽃을 만들어 보자. 같은 크기의 정오각형을 여러 개 오려 내자. 정오각형의 각 변에 정오각형을 하나씩 붙이면 다섯 개의 잎을 가진 정오각형 꽃이 된다(1단계). 이런 꽃을 여섯 개 만들어 가운데 꽃을 중심으로 다섯 개의 꽃을 붙이면 더 큰 정오각형 꽃이 만들어진다(2단계). 이런 과정을 4단계까지 반복하면 정오각형 꽃 모양은 더욱 더 커지고 아름다워진다(그림 4). 이 때 필요한 정오각형의 개수는 6×6×6×6=1296개이다. 한 송이의 아름다운 꽃을 만들려면 인내와 정성이 필요한 법이다! 김흥규/서울 광신고 교사 [e-mail]