수리 논제는 대부분 기초 수학으로 풀 수 있다

프랑스 화가 장 오귀스트 앵그르의 1808년 작 <스핑크스의 수수께끼를 푸는 오이디푸스>. <한겨레> 자료사진

통합논술 원리와 실제

■ 통합논술의 원리

수학문제 풀 듯 수식만 나열하면 안돼

통합논술은 특정 교과의 성취도와 이해도를 묻는 문제에서 벗어나 다양한 교과 영역의 제시문을 통합하여 학생들의 종합적 사고 능력을 평가하는 데 그 의의가 있다. 최근 일부 대학의 인문계 논술에서 수리 논제의 출제 빈도가 높아지고 있는 데 대해 논란이 일고 있다. 그러나 수리 논제가 다양한 사회현상을 담은 데이터를 수학적으로 분석하고 그 결과를 다양한 관점에서 해석하기를 요구한다는 점에서 통합논술의 취지를 벗어난다고 할 수는 없다. 다만 일부 자연계 논술의 경우처럼 수학 교과만의 지식을 요하는, 이른바 ‘수리논술’ 문제로 간주될 만한 경우는 논란의 여지가 있다고 할 것이다.

대부분의 수리 논제는 고등학교에서 배우는 기초적인 수학 지식만으로도 풀 수 있는 수준을 넘지 않는다. 또 숫자나 수식의 사용이 필수적이라 해서 수학 문제를 풀 듯 수식의 나열만으로는 좋은 평가를 기대할 수 없다. 논제의 출제의도에 부합하면서 논리적으로 서술된 답안을 요구하는 것이지, 수학적 풀이 과정만을 요구하는 것은 아니라는 말이다. 다만 풀이과정에서 답안의 유도에 이르기까지의 과정을 논리적으로 전개하는 데 중점을 두되 필수적인 수치나 수식을 사용할 수 있도록 연습해 둘 필요가 있다.

1. 논제의 요구사항을 수식과 문장으로 재정리하라

수치 자료가 동원되는 문제는 ‘논제의 요구 조건을 수치를 이용하여 증명하는 것’으로 볼 수 있다. 따라서 수식이나 문장으로 변환 가능한 조건을 찾아 수식과 문장으로 정리하는 것이 중요하다. 이렇게 정리한 조건식이나 조건 문장을 바탕으로 풀이 과정과 결과를 논리적으로 전개하면 된다. 여기서 논리적 전개란 ‘~이므로’나 ‘따라서’ 등으로 표현되는 인과적 전개를 말한다. 이때 수식으로 표현될 수 있는 근거는 복잡한 문장보다 간단한 수식을 사용하는 것이 득점에 유리하다. 숫자나 수식으로 설명하면 더 이해하기 쉬운 경우 문장으로 장황하게 서술하는 것은 감점의 요인이 될 수도 있음을 유의해야 한다.

2. 자료의 분석은 단계별로 차근차근하게

주어진 수치자료에는 논제 해결에 필요한 핵심 내용 외에 불필요한 자료가 포함되었을 수 있다. 이 경우 불필요하거나 중요하지 않은 내용의 해석에 매달리다 보면 논점에서 이탈할 수 있을 뿐 아니라 제한시간을 낭비하게 된다. 따라서 전제된 조건과 논제의 요구사항을 정확히 분석하면서 개요를 작성하는 것이 필수적이다. 논제의 요구 조건이 긴 문구로 이루어진 때는 영문자나 기호로 설정(또는 치환)하여 표현하고 필요시 문자식으로 정리하는 것도 좋은 방법이 된다. 이때 치환한 내용을 반드시 기술해 두어야 한다.

3. 기출문제의 유형 분석 및 연습이 중요하다

논술 문제도 수능의 유형별 문제와 같이 여러 대학에서 자주 출제되는 주요 유형들이 있다. 따라서 대학별 기출문제에 대하여 관심을 갖고 자주 접해 보되 될수록 최근의 유형에 주목해 볼 필요가 있다. 대부분의 대학들은 출제 유형의 변동이 있을 경우 모의 논술시험을 실시한다. 그리고 실제 시험에서 모의 논술에 출제된 유형과 동일한 형식으로 출제한다. 따라서 지원하고자 하는 대학의 모의논술 출제 유형은 반드시 풀어보아야 한다. 특히 영어 제시문이나 수리 논제를 추가하는 대학들이 늘고 있으므로 미리 대비하는 자세가 필요하다.

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■ 통합논술의 실제

이혼비와 이혼율은 다르다

※ 다음을 읽고 문제를 풀어 보세요.

요즘은 드라마나 영화에 이혼 가정이 빈번하게 등장하고 있다. 그것을 바라보는 시청자의 눈도 이제는 낯설지 않다. 그만큼 우리 사회에서 이혼이라는 것이 숨겨야 한다거나 부끄러운 일이 아니라 하나의 자연스러운 현상으로 받아들여지고 있는 것이다.

조이혼율(粗離婚率, crude divorce rate)은 이혼에 관한 가장 기본적인 지표로서 1년간에 발생한 총 이혼 건수를 당해 연도의 총인구로 나눈 수치를 1000분비로 나타낸 것으로 인구 1000명당 이혼 건수를 의미한다. 조이혼율은 산출 방법이 간편하여 국제비교에 널리 이용되고 있다. 한편, 유배우이혼율(有配偶離婚率)은 혼인 상태에 있는 유배우 인구 1000명당 이혼 건수를 의미한다. 유배우이혼율은 이혼이 가능한 유배우 인구를 분모로 한정하기 때문에 설명력이 높은 지표이다.

반면, 과거에 언론 기사 등에서 ‘이혼율’이라고 지칭되었던 이혼비(離婚比)는 그해에 발생하는 이혼 건수를 그해의 혼인 건수로 나누어 산출하는 지표로서, 혼인에 대한 이혼의 상대적 크기일 뿐 이혼율과는 다르다. 즉, ‘혼인 몇 쌍 중 이혼 몇 쌍’과 같은 표현은 이혼율이 아닌 이혼비를 표현한 것이다.

[문제] (1) 2008년 우리나라의 조이혼율은 2.4, 유배우이혼율은 4.8이었고 이혼비는 0.36이었다. 2008년 초에 혼인 상태에 있는 유배우 인구가 2400만 명이었다고 할 때, 주어진 지표 값들을 기초로, 1년 후인 2009년 초의 유배우 인구 규모를 추정하시오(단, 유배우 인구의 사망이나 해외 이주는 없다고 가정한다. 또한 혼인 또는 이혼 1건에는 2명이 관련됨에 주의하시오).

- 2012 이화여대 모의

[풀이]

문제의 요구사항은 주어진 지표 값을 바탕으로 1년 후인 2009년 초의 유배우 인구 규모를 추정하는 것이다. 지표 값의 의미를 이해하기 쉽게 표현하는 것이 문제해결의 선결 조건이 된다. 또한 혼인 인구는 혼인 건수의 배수가 됨을 간과해서는 안 된다.

- 조이혼율: 인구 1000명당 이혼 건수(인구 전체를 바탕으로 함)

- 유배우이혼율: 유배우 인구 1000명당 이혼 건수(배우자가 있는 상태의 1000명 중 이혼 건수)

- 이혼비=(이혼 건수/혼인 건수)=(조이혼율/조혼인율)=(유배우이혼율/유배우혼인율)

1) 유배우혼인율=(유배우이혼율/이혼비) → 4.8/0.36=13.3(2008년 유배우 인구 1000명당 13.3명이 혼인, 4.8명이 이혼함) → 유배우 인구 1000명당(13.3-4.8)×2=17명 증가를 의미 → (2400/1000×17)=40.8만 명 유배우 인구 증가 → 2400만+40만8000=2440만8000명 추정이 가능함

2) ④ 2009년 초의 유배우 인구 규모=(① 2008년 유배우 인구 규모+② 2008년의 혼인 인구)-③ 이혼 인구

① 2009년 유배우 인구 규모=2400만+(혼인 건수-이혼 건수)×2

② 혼인 건수 y로 치환 → 이혼비=(이혼 건수/혼인 건수) → 0.36=(11.52/y) → 32만 건 → 혼인 인구는 (32만×2)=64만 명

③ 이혼 건수 x로 치환 → 2008년의 유배우이혼율=(총 이혼 건수/유배우 인구×1000)이므로 4.8(천 명당)=x/2400(만 명) → x=115,200 → 이혼 인구는(115,200×2)=230,400명

④ (2400만+64만)-23만400=2440만9600명

[문제] (2) 2008년의 혼인 건수가 실제에 비해 가상적으로 크게 감소하여 이혼 건수보다도 수가 적었다고 상상해 보자. 이 가상적인 변화가 2008년의 조이혼율·유배우이혼율·이혼비의 값에 각각 어떤 영향을 줄 것인지 비교 분석하고, 이를 바탕으로 ‘조이혼율’이 다른 지표들에 비해 가진 특징이 무엇인지 논하시오.

1) 혼인 건수가 이혼 건수보다 감소할 경우, 조이혼율은 실제 혼인 인구 비율이기 때문에 큰 영향을 받지 않음 → 유배우이혼율은 유배우 인구수의 감소 및 이혼 건수 증가의 영향을 받아 수치가 높아질 수 있음 → 이혼비는 이혼 건수가 혼인 건수보다 많아질 경우 값이 1보다 크게 됨 → 다른 변화의 요인에 크게 움직이지 않는 조이혼율이 이혼의 변동을 안정적으로 대변하는 지표라 할 수 있음.

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■ 통합논술의 예제

오이디푸스 왕의 수수께끼를 맞히는 방법은?

※ 풀이 과정을 따라 논술문을 작성해 보세요.

테바이를 통치하는 오이디푸스 왕은 종종 백성들에게 수수께끼를 낸다. 왕은 그들에게 ‘수수께끼 1’이나 ‘수수께끼 2’를 내는데, 같은 사람에게 두 가지 수수께끼를 모두 내는 경우는 없다. 수수께끼를 풀기 위하여 백성들은 ‘방법 A’와 ‘방법 B’ 중 하나를 사용한다. 그리고 모든 백성은 단 한 번만 수수께끼를 받고, 수수께끼 풀기를 거부할 수 없다.

지난 5년간 왕에게서 수수께끼를 받은 사람들에 대한 통계치는 다음의 표들에 나타나 있다.

- 2011 고려대 수시

(가) 이오카스테는 지난 5년 중 어느 시점에 왕에게서 수수께끼 하나를 받았다. 그녀가 ‘방법 A’를 사용하여 답을 맞혔을 경우, 왕이 그녀에게 ‘수수께끼 1’과 ‘수수께끼 2’ 중 어느 것을 냈을 가능성이 더 높은지 근거를 제시하여 논하시오.

[풀이]

논제의 문구에서 힌트를 찾아보자.

① 문제는 5년 중 어느 시점을 전제하므로 제시된 통계표들을 근거로 삼을 수 있다.

② 이오카스테가 ‘방법 A’를 써서 답을 맞혔다는 가정으로부터 ‘방법 A’로 풀기가 더 쉬운 문제를 받았을 것이라는 추론이 가능하다.

→ <표 2>와 <표 3>을 보면 ‘방법 A’로 ‘수수께끼 1’을 풀 때의 정답률(0.8)이 ‘수수께끼 2’를 풀 때의 정답률(0.4)보다 높다. 따라서 이오카스테가 받은 문제(왕이 낸 문제)는 ‘수수께끼 1’일 가능성이 높다.

※ <표 1>의 ‘방법 A’를 써서 답을 맞힌 사람은 모두 700명이다. 그중에서 <표 2>의 ‘수수께끼 1’을 맞힌 사람은 600명으로 <표 3>의 ‘수수께끼 2’를 맞힌 100명보다 월등히 많으므로 이오카스테는 ‘수수께끼 1’을 맞힌 사람에 속할 확률이 높다.

(나) 전령 1, 전령 2, 메디아는 모두 지난 5년 중 어느 시점에 왕에게서 ‘수수께끼 1’을 받았다. 왕은 그들이 각각 독립적으로 수수께끼를 풀되, 왕의 백성인 전령 1과 전령 2는 ‘방법 A’를 사용하여 수수께끼를 풀고, 왕의 백성이 아닌 메디아는 ‘방법 A’, ‘방법 B’ 이외의 방법으로 수수께끼를 풀도록 하였다. 메디아는 수수께끼 풀기를 거부할 수 없다. 메디아가 ‘수수께끼 1’의 답을 맞힐 확률은 50%이다. 전령 1이 ‘수수께끼 1’의 답을 맞힐 가능성과 전령 1, 전령 2, 메디아 세 명 중 두 명 이상이 ‘수수께끼 1’의 답을 맞힐 가능성을 비교하고, 그 근거를 제시하시오.

[풀이]

(나)를 해결하기 위해 필요한 논제의 조건을 정리해 보면

① 전령 1, 전령 2, 메디아는 모두 ‘수수께끼 1’을 푼다.

② 전령 1과 전령 2는 ‘방법 A’를 사용한다.

③ 메디아는 ‘방법 A’, ‘방법 B’ 이외의 방법으로 풀며, 그 정답률은 50%(=0.5)이다.

1) <표 2>로부터 전령 1이 ‘방법 A’로 ‘수수께끼 1’의 답을 맞힐 가능성은 0.8이다.

2) 전령 1, 전령 2, 메디아 세 명 중 두 명 이상이 ‘수수께끼 1’의 답을 맞힐 가능성을 X라 하고, ‘방법 A’를 사용한 전령 1의 정답률을 A1(정), 오답률을 A1(오), 전령 2의 경우는 A2(정)과 A2(오)라 하며, 제3의 방법을 사용한 메디아의 정답률을 M(정), 오답률을 M(오)라 하면, X는 A1(정)×A2(정)×M(오)와 A1(정)×A2(오)×M(정), A1(오)×A2(정)×M(정), A1(정)×A2(정)×M(정)의 합이다.

한편 <표 2>로부터 A1(정)=A2(정)=0.8, A1(오)=A2(오)=0.2, M(정)=M(오)=0.5이다.

계산하면 X=(0.8×0.8×2+0.8×0.2×2)×0.5=0.8이다.

3) 따라서 전령 1이 ‘수수께끼 1’의 답을 맞힐 가능성과 전령 1, 전령 2, 메디아 세 명 중 두 명 이상이 ‘수수께끼 1’의 답을 맞힐 가능성은 모두 0.8로 같다.

(다) 크레온은 오이디푸스 왕에게서 수수께끼 하나를 받고 다음과 같은 사실을 발견했다. <표 1>에서는 ‘방법 A’의 정답률이 ‘방법 B’의 정답률보다 높지만 <표 2>와 <표 3>에서는 ‘방법 B’의 정답률이 ‘방법 A’의 정답률보다 높은 역전 현상이 나타났다. 표들에 나타난 추세가 지속된다면, 그가 답을 맞힐 가능성을 높이기 위해서는 어떤 방법을 사용해야 하는지 표들에 나타난 역전 현상과 연관 지어 설명하시오.

[풀이]

논제의 요구는 크레온이 답을 맞힐 가능성이 높은 방법을 설명하되 표들에 나타난 역전 현상과 연관 지어 설명하라는 것이다. 이는 크레온이 정답률이 높은 방법을 선택하기 위해 <표 1>을 참고해야 하는지, 아니면 <표 2>, <표 3>을 참고해야 하는지를 판단하라는 것과 같다. 왜냐하면 참고할 통계자료에 따라 선택할 방법이 다를 수 있기 때문이다. 따라서 논제의 요구를 만족시키기 위해서는,

① 역전 현상이 일어난 이유를 밝힌다.

② ‘수수께끼 1’과 ‘수수께끼 2’ 모두에 대해 정답률이 높은 방법이 무엇인지 찾는다.

통계 자료를 바탕으로 알 수 있는 것은 다음과 같다.

1) <표 2>와 <표 3>으로부터 사용한 방법에 상관없이 ‘수수께끼 1’의 정답률(0.8과 0.9)이 ‘수수께끼 2’의 정답률(0.4와 0.5)보다 훨씬 높은 것으로 보아 ‘수수께끼 2’의 난이도가 ‘수수께끼 1’보다 높다는 점을 추론할 수 있다.

2) <표 1>을 보면 ‘방법 A’와 ‘방법 B’를 사용한 사람이 각각 1000명씩으로 같다. <표 2>와 <표 3>에서는 ‘수수께끼 1’을 받은 사람들은 주로 ‘방법 A’를 선택한(750명) 반면 ‘수수께끼 2’를 받은 사람들은 주로 ‘방법 B’를 선택했음(750명)을 알 수 있다. 여기서 난이도 차이로 인해 ‘방법 A’의 정답자 수(600명+100명=700명)가 ‘방법 B’의 정답자 수(225명+375명=600명)보다 많으므로, <표 1>에는 ‘방법 A’의 정답률이 더 높게 나타난 것이다.

3) ‘수수께끼 1’과 ‘수수께끼 2’의 난이도 차이를 무시한 채, 방법 선택에 따른 정답자 수를 단순 합산한 결과를 가지고 산출한 <표 1>의 정답률은 신뢰할 수 없다.

→ 크레온이 답을 맞힐 가능성을 높이기 위해서는 <표 2>와 <표 3>에 나타난 정답률을 바탕으로 ‘방법 B’를 사용해야 한다.

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