수학적 의사소통 능력

수학 과학 비타민 /

수학이라는 학문은 추상적이고 형식적인 학문이기 때문에 학습하기가 어렵다. 그러나 수학이 논리적인 사고력, 합리적인 추론 능력, 그리고 창의성을 향상시키는 가장 효과적인 도구라는 것을 부정하는 사람은 거의 없다. 곧, 지금까지 수학은 사회현상이나 자연현상을 논리적이고 과학적으로 해석하기 위한 최고의 도구로서의 역할을 감당해 왔다. 학생들은 자신의 수학적 사고를 조리 있고 명확하게 친구들이나 교사에게 설명해 정당화할 수 있어야 하며, 이 과정에서 엄밀하게 수학적 아이디어들을 표현하기 위한 수학의 언어와 기호를 사용할 수 있어야 한다. 이런 것을 ‘수학적인 의사소통 능력’이라고 한다.

자연계 논술은 바로 이 수학적인 의사소통 능력을 기르는 것이 중요한 목적이다. 자연계 논술이 인문계 논술과 다를 수밖에 없는 것은 자연계의 학문적 바탕이 수학이고, 따라서 수학적 의사소통 능력을 키우는 것이 궁극적으로 이공계 학문을 연구하는데 필요한 능력을 갖추는 중요한 일이기 때문이다. 물론 인문계열 학생들도 수학의 언어를 이해하고, 수학적 의사소통 능력을 갖춘다면 더 바랄 것이 없을 것이다.

어떻게 해야 이런 능력을 키울 수 있을까? 학생들은 이제부터라도 자기 생활 주변의 여러 가지 현상을 그저 가볍게 넘기지 말고 그 속에 수학적인 사실을 집어넣는 작업을 시도해 보는 것이 좋다. 신문이나 매스컴을 통해서 얻는 여러 가지 정보 속에서 학교에서 배운 수학적인 사실들을 한 번 더 적용해 보고 좀 더 과학적으로 해석 가능한 부분이 있는지를 찾아내는 습관을 키우기를 권한다. 신문에 나오는 데이터(data)를 보면서 신문에서 분석하지 않은 다른 측면을 분석해 보는 것이 한 예가 될 수 있다. 이를 좀더 구체적으로 이해하기 위해 2008학년도 인하대학교 자연계 논술 예시 문제를 살펴보자.

◆ 예시 문제

철학자 플라톤은 이상적인 사회에서는 가장 부자인 사람의 소득이 가장 가난한 사람의 소득보다 4배 이상 많아서는 안 된다고 했다. 소득분배 자료가 존재하지 않거나 측정방법(개인소득이냐 가구소득이냐)이 달라 비교하기 쉽지 않지만, 소득분배가 상대적으로 가장 균등하다는 독일은 상위 20% 계층의 소득이 하위 20% 계층의 4배 정도이고, 가장 불균등한 브라질은 25배 정도에 이른다.

이러한 소득의 불평등도를 측정하는 방법으로 이탈리아 통계학자 지니가 소득분포에 관해 제시한 지표인 지니 계수가 있다. 지니 계수는 빈부격차와 계층 간 소득분포의 불균형 정도를 나타내는 수치로, 소득이 어느 정도 균등하게 분배돼 있는지를 평가하는데 주로 이용되는데, 근로·사업소득은 물론, 부동산·금융자산 등의 자산 분배 정도까지도 파악할 수 있다.

우리나라 인구의 소득분포

우리나라의 소득 불평등도는 다른 나라와 비교해 볼 때 그리 높은 편이 아니다. 그러나 자산 분배 불평등도는 매우 높은 것으로 나타났다. 자산 분배 불평등도란 토지, 건물, 금융자산 등의 소유 불평등도로서 역시 지니 계수로 나타낸다. 1995년 우리 나라 자산 지니 계수는 토지가 0.90, 토지와 건물을 합한 것이 0.836, 금융 자산은 0.656이었다.

지니 계수는 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다. 오른쪽 그림(*그림 있습니다)에서 가로축은 인구의 누적 비율이며 세로축은 소득의 누적비율을 나타낸다. 소득분배곡선인 로렌츠 곡선은 소득 수준이 낮은 인구로부터 높은 순으로 누적한 비율에 대응하는 누적소득 비율을 표시한 곡선이다. 이제, 완전 평등선(45˚선)을 그은 뒤, 완전 평등선과 로렌츠 곡선 사이의 넓이인 불평등 넓이를 구한다. 지니 계수는 불평등 넓이를 완전 평등선 아래의 삼각형(어두운 부분)의 넓이로 나눈 비율이다. 지니계수는 0과 1 사이의 값을 가지는데, 로렌츠 곡선이 가상 완전 평등선에 가까워지면, 지니 계수는 0에 가까워지고, 이것은 소득분배의 불평등 정도가 낮다는 것을 뜻한다. 일반적으로 지니계수가 0.4를 넘으면 소득분배가 상당히 불평등하다고 본다.

어떤 나라의 총 인구를 10,000명이라고 하자. 이들의 소득분포가 다음과 같을 때, 주어진 자료로부터 지니 계수를 추정하고 그 방법을 정당화하여라.

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◆ 문제 해설

인문계 논술에서 소득불평등 문제를 다룬다면, 신문 기사나 학자들의 글이 제시문으로 나왔을 것이다. 그러나 자연계 논술은 이처럼 객관적인 수치와 공식으로 현상을 이해하고 설명하도록 하는 것이 특징이다. 이 문제를 풀려면 우선 주어진 자료에서 누적 도수와 누적 소득을 구해 아래와 같은 그래프를 만든다. 물론 다른 방식으로 표현하는 것도 가능하다. 원래 지니계수를 구할 때에는 가로, 세로축에 비율을 나타내지만 총계가 1만이므로 계산의 편리함을 위해 아래에서는 비율이 아닌 자료의 누적으로 나타냈다. (그림)

위 그림에서 흰색 직사각형은 구간의 최소값, 어두운 직사각형은 구간의 최대값을 나타낸다. 이 두 값의 평균으로 각 구간의 높이를 택해 직사각형의 넓이를 구할 수 있다.

최수일/용산고 수학교사, 이동흔/남강고 수학교사

이는 수학 II 과정에서 나오는 구분구적법(정적분의 근사값)을 이용할 수도 있지만 교육 과정에서 정적분을 할 때는 분할된 구간의 크기가 일정한데, 이 경우에는 구간의 크기가 일정하지 않다는 점에 차이가 있다. 그래도 주어진 함수를 구간 내에서 적당한 점을 택해 전체를 이차함수로 보고, 그 이차함수를 정적분해 로렌츠 곡선을 적분한 값을 구할 수 있다. 이 때 이차함수는 f(x)=ax2+bx+c꼴이지만 학생 중에는 간단히 b=c=0으로 접근하는 경우도 있을 것이다. 주어진 자료를 누적해 좌표평면으로 점으로 나타내면 원점을 지나는 모양이 될 것이므로 c=0이라고 볼 수 있다.

최수일/용산고 수학교사, 이동흔/남강고 수학교사