통분할 땐 왜 분모를 같게 할까

수학개념 쏙쏙 /

5학년 수학 시간. 선생님이 ‘통분’에 대해 설명하고 있었다.

“자, 3/4와 5/6의 크기를 비교하려면 분모를 같게 해야 해요. 4와 6의 최소공배수가 12니까 분모를 12로 하면 되는 거죠. 그러면 3/4는 9/12가 되고, 5/6는 10/12가 됩니다. 어떻게 하는 지 알겠죠?”

아이들이 소리 높여 “예!”라고 대답했고, 그 중에서 승필이가 손을 번쩍 들었다.

“그런데 왜 두 분수의 분모를 같게 해야 하나요?”

순간 선생님은 황당한 표정을 지었다.

“승필아, 오늘 하루 종일 배운 게 ‘크기가 같은 분수 만들기’잖아. 크기가 같은 분수를 어떻게 만드는 지 아직도 모르겠니?”

승필이가 “그건 잘 아는데요…”라며 말꼬리를 흐리자 선생님이 물었다.

“그런데 뭘 모르겠다는 거지?”

“통분하는 방법을 모르는 게 아니라, 왜 분자가 아니라 꼭 분모를 똑같게 해야 하는 지 잘 모르겠습니다. 분모가 아니라 분자를 똑같게 하면 안 되는 건가요?”

승필이의 말에 여기저기서 술렁거리는 소리가 들렸다. 그러고 보니 왜 하필 분자가 아니라 분모를 같게 해야 하는 것인지는 생각해 본 적이 없었던 것이다.

선생님은 환하게 웃으시며 “좋은 질문이구나! 여러분들은 이제부터 설명을 잘 들으세요.”라고 말씀하셨다. 다음은 선생님의 설명이다.

통분할 때 분모를 같게 하는 이유를 알려면 ‘단위’와 ‘단위분수’에 대해서 알고 있어야 한다. ‘단위’란 무엇일까? 자연수는 1에서 시작해서 1씩 커지므로 ‘1’이 단위이다. 사과 1개를 여러 조각으로 자른 경우라면 조각 중의 하나는 ‘1’이 아니고 1보다 작다. 만약 사과를 6조각냈다면 그 한 조각은 1/6이다. 이런 사과 2조각이 있다면 1/6이 2만큼 있으므로 2/6이라고 하고, 3조각이 있다면 3/6이라고 한다. 이런 식으로, ‘1/6’짜리가 몇 개가 있나 센다. 즉, 1/6부터 시작해서 1/6씩 커지는 것이다. 이 때의 단위는 1/6이다.

같은 사과라도 여러 조각을 낸다면 조각의 수는 달라지고 따라서 단위의 크기도 달라진다. 만약 사과 한 개를 8조각 내었다면 1/8이 단위가 되고, 5조각 내었다면 1/5이 단위가 된다. 이렇게 분자는 항상 1이고 분모는 조각의 개수인 것을 ‘단위분수’라고 한다. 따라서 단위분수를 결정하는 데에는 분자가 아니라 ‘분모’가 결정적인 역할을 하게 되는 것이다.

그렇다면 통분을 할 때는 왜 분모를 같게 해야 할까? 예를 들어 3/4가 있다면 이 수는 1/4이 3만큼 있는 수이고, 5/6은 1/6이 5만큼 있는 수이다. 3/4에서는 단위분수가 1/4이고 5/6의 단위분수는 1/6이므로 기준이 되는 크기(단위분수)가 서로 다르다. 하지만 크기를 비교하거나 덧셈, 뺄셈을 하려면 단위가 같아야 한다. 단위를 같게 하려면 ‘분모’를 똑같게 해야 하므로, 분모를 통분해야만 하는 것이다.

단위는 다른데, 크기가 같을 수도 있을까? 예를 들어 123cm와 1.23m를 생각해 보자. 123cm는 1cm가 단위고 1.23m는 1m가 단위이므로, 단위는 다르지만 크기는 같다. 이렇듯, 단위는 다르지만 크기는 같을 수 있다. 마찬가지로, 3/4와 6/8를 생각해 보면, 3/4에서는 단위 분수가 1/4이고 6/8에서는 1/8이지만 그 ‘크기’는 똑같다. 이런 식으로 크기가 같은 분수로 표현한 것 가운데 분모가 같은 것을 고른 것이 바로 ‘통분’이다.

선생님의 설명이 길어지자 몇몇 아이들은 좀 지루해하며 딴짓을 했다. 하지만 승필이는 이제껏 아무데서도 가르쳐주지 않는 것을 배웠다는 생각에 가슴이 벅차올랐다.

강미선/<행복한 수학 초등학교> 저자 [e-mail]