그래프 잘 그리면 응용문제 ‘술술’

장이지의 수학 돋보기

중학생, ‘공부하는 힘’이 열쇠다

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7. 그래프를 그리면 개념이 보인다

“수학은 수식으로만 풀어야 한다.” 아이들은 이런 고정관념에 묶여 문제 풀이에 그래프나 도형을 잘 이용하지 않는다. 또 단순히 귀찮아서 수식만 이용해 문제를 푸는 경우도 많다. 그래프를 활용하면 개념 이해나 문제 풀이가 쉽다는 것을 모르기 때문이다.

중학교 수학엔 초등학교와는 달리 추상적인 개념이 많이 등장한다. 그래서 그래프를 이용해 개념을 설명하는 경우가 많고, 그 과정을 써 보도록 하는 서술형 문제도 자주 출제된다. 특히 대입 수능시험의 수리영역 문제는 그래프를 그리지 못하면 해석조차 불가능하기 때문에 평소에 그래프를 그리는 연습을 꾸준히 해야 한다.

일차함수에서 직선의 방정식을 배울 때 아이들이 어려워하는 개념 가운데 ‘기울기’란 게 있다. 수학책에선 ‘x의 증가량에 대한 y의 증가량’이라고 정의하는데 잘 이해하지 못하는 아이들이 많다. 이런 아이들은 ‘기울기=(y2-y1)/(x2-x1)’이라고 외운 뒤 단순히 수치만 대입해서 풀기 때문에 문제가 조금만 꼬여서 나오거나 그래프가 직접 출제되면 손도 대지 못한다.

기울기를 이해하는 가장 좋은 방법은 두 점을 찍고 연결한 뒤 x, y의 변화량을 눈으로 확인해 식으로 표현하는 것이다. 한 점을 고정시키고, 다른 한 점을 1~4분면에 찍어보면서 기울기의 증감을 확인하고 부호가 바뀜에 따라 달라지는 그래프의 모양을 살펴보면 기울기의 뜻과 변화하는 모습까지 모두 이해할 수 있어 어떤 응용문제가 나와도 쉽게 대처할 수 있다. 또 아이들이 가장 어려워하는 이차함수도 기본형인 y=x2의 그래프를 그린 뒤, 이차항의 계수와 부호를 바꿔 y=-x2, y=±2x2, y=±3x2, y=±(1/2)x2, y=±(1/3)x2의 그래프를 직접 그려보면 계수의 부호와 값의 크기가 그래프의 모양에 미치는 영향을 직접 확인할 수 있다. 그 뒤에 평행 이동한 그래프를 그려봄으로써 이차함수의 기본 개념을 완성할 수 있다. 수학을 잘하려면 계산 능력은 필수다. 하지만 응용·심화 문제들을 자유자재로 풀기 위해선 문제의 뜻에 맞는 그래프를 그릴 수 있는 능력을 키우는 게 가장 먼저다.

장이지 1318 교육연구소 연구원