두 자리 수 X 두 자리 수

수학개념 쏙쏙

수학개념 쏙쏙 / 세로셈과 자릿값의 원리에 대하여

지난 주에 분수 곱셈에 대해 알아보는 과정에서 자릿값을 알아봤다. 이번주에는 자릿값과 곱셈의 원리를 좀 더 자세히 알아보자. 자릿값이란 같은 숫자라도 그 숫자가 쓰여진 자리가 어디냐에 따라 값이 다르다는 것이다. 예를 들어, 7378의 경우 숫자 7이 두 번 쓰였는데, 하나는 70을, 다른 하나는 7000을 의미한다. 이것과 곱셈은 무슨 관계가 있을까? 먼저 곱셈 교육과정부터 살펴보자.

2학년 2학기 때 <곱셈 구구> 단원에서 (한 자리 수)×(한 자리 수)를 익히고, 3학년 1학기가 되면 (두 자리 수)×(한 자리 수)를 배운다. 이 때 38×9와 같은 계산을 먼저 배우는 게 아니라 일단 한 자리 수와 곱해지는 두 자리 수의 일의 자리의 숫자가 0인 경우(예를 들면, 30×7)를 알아보고 그 다음에 일의 자리가 0이 아닌 경우(예를 들면 37×7)의 계산을 알아본다.

3학년 2학기에 들어가면, (세 자리 수)×(한 자리 수)의 계산(예를 들면 397×7)을 배우고, 그 다음 (두 자리 수)×(몇십)-예를 들면 35×70-과 (몇십)×(몇십)-예를 들면 70×80-을 배운다. 그 다음에서야 (두 자리 수)×(두 자리 수)를 배운다. 두 자리 수보다 큰 수들의 곱셈은 4학년 이후로 넘어간다.

2-나 (한 자리 수)×(한 자리 수)

↓

3-가 (두 자리 수)×(한 자리 수)

↓

3-나 (세 자리 수)×(한 자리 수)

(두 자리 수)×(두 자리 수)

↓

4-가 100, 1000, 10000 곱하기

이 과정에서 가장 결정적인 순간은 (두 자리 수)×(두 자리 수)의 계산 원리를 ‘이해’하는 것이다. 어른들에겐 매우 단순한 계산이지만 처음 배우는 학생들에게는 결코 쉽지 않다. 아이에게 두 자리 수 곱셈을 세로로 계산하는 법을 설명할 때 “이거랑 이거랑 곱해서 여기다 쓰고 저거랑 이거랑 곱해서 여기다 쓰고…” 하는 식으로 절차만 강조해서 설명하는 경우가 많은데, 그렇게 하면 수학 지도에서 가장 경계하는 ‘기계적인 절차’를 주입하는 것이 된다. 아이들은 왜 아래로 갈수록 왼쪽으로 한 칸씩 옮겨가는지, 왜 중간에는 엑스(X)자로 엇갈리게 곱하는지를 확실히 알지 못한 채 “약속이겠지, 뭐” 하며 대충 넘어가기 십상이기 때문이다. 왜 그렇게 하는지 모른 채 절차를 따라하는 것은 수학을 배우는 바람직한 방법은 아니다. 그렇다면 어떻게 설명하면 좋을까?

■ 37×52 계산하기 ■

두 자리 수 곱셈에 들어가기 전에 배웠던 것을 돌이켜서 다시 생각해 본다.

(1) (한 자리 수)×(한 자리 수)

7×2=7+7

=(1+1+1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+1+1+1)

=14×1

이 때, 14를 굳이 ‘14×1’이라고 표현한 것은, 7과 2가 원래 ‘한 자리 수’였음을 강조하기 위함이다.

(2) (두 자리 수)×(한 자리 수)

30×2=30+30

=(10+10+10)+(10+10+10)

=6×10=(3×2)×10

50×7=50+50+50+50+50+50+50

=(10+10+10+10+10)+(10+10+10+10+10)+…+(10+10+10+10+10)

=35×10=(5×7)×10

30×2를 설명할 때, “30을 두 번 더하면 60이다”라거나 “3과 2를 곱한 다음에 0을 붙인다”고 하기도 한다. 그런데 이렇게만 설명하면 앞으로 배울 두 자리 수를 세로로 곱하는 계산을 할 때 아래로 갈수록 왼쪽으로 한 칸씩 이동하는 이유를 깨닫게 하기 힘들다. 따라서 30×2를 6×10으로 다시 표현하고, 50×7를 35×10으로 표현할 수 있다는 것을 일단 확인해 두는 것이 좋다.

(3) 30×50=30+30+30+30+30+…+30

=(10+10+10)+(10+10+10)+(10+10+10)+(10+10+10)+(10+10+10)+…+(10+10+10)+(10+10+10)

=(10+10+10+10+10+10+10+10+10+10)+(10+10+10+10+10+10+10+10+10+10)+…+(10+10+10+10+10+10+10+10+10+10)

=100+100+100+…+100+100

=15×100=(3×5)×100

이 때도 마찬가지로 30×50이 (3×5)×100과 같음을 이해하는 것이 중요하다. 만약 이 대목에서 단순히 “30×50은 3과 5를 곱한 다음에 00을 붙인다”고 설명한다면, 십진법의 특징인 자릿값 원리가 곱셈에도 일관되게 들어있음을 깨닫기는 힘들 것이다.

이번에는 세로셈을 살펴보자. (아래 문제풀이)

지금까지 살펴본 과정들이 세로 곱셈에 한꺼번에 모두 들어있다. 세로셈을 하는 이유는 자릿값을 맞춰 쓰기 위해서다. 자릿값을 맞춰 쓰면 뒤에 쓰는 0을 쓸 필요가 없기 때문에 아예 생략하는데, 그 때문에 마치 아래로 갈수록 한 칸씩 왼쪽(큰자리)로 옮겨가며 쓰는 것처럼 보인다. 세로 곱셈 과정을 세밀하게 들여다보면 인도-아라비아 수 체계의 핵심인 ‘자릿값’ 원리가 얼마나 과학적인지를 새삼 알 수 있다. 강미선/<행복한 수학 초등학교> 저자 [e-mail]

문제풀이